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代数学まとめノート(3) 正規部分群

はじめに

本記事は私が代数学を勉強した際のまとめノートです。 誤りを含む可能性はございますが、ご了承ください。
またその際は、コメントにて指摘いただければ幸いです。

正規部分群

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正規部分群群論における最重要な定理のひとつである準同型定理の理解に欠かせない。
まあ今は、「部分群の中でも特別なやつなんだなぁ」くらいの感覚でいいと思う。

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任意の x \in G n \in Nについて上図のような関係が成り立つときに N G正規部分群と言っているのだ。
ここで、 x \circ n \circ x^{-1}は必ずしも n自身に戻る必要はなく、集合 Nの中に戻ってくればよい、ということは押さえておきたい。

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(ex. 2)について。 直交群 O(n)には回転と鏡像(反転)を表す行列が、特殊直交群 SO(n)には回転を表す行列が含まれているわけだが、 SO(n) O(n)正規部分群であるとはつまるところ、回転と鏡像を分離しましたよということを意味しているのだ。

参考文献