社会人からAI・ロボットの研究を始めました

大学数学のまとめや研究活動に関することを書いています

代数学まとめノート(2) 群の例・部分群

はじめに

本記事は私が代数学を勉強した際のまとめノートです。 誤りを含む可能性はございますが、ご了承ください。
またその際は、コメントにて指摘いただければ幸いです。

群の例

f:id:kanichan_robot:20210905184343p:plain

例(3)は正則行列だから逆行列が定義できることがキモだ。

部分群

f:id:kanichan_robot:20210905184415p:plain

線形代数を勉強した人は「部分空間」という言葉を知っているかもしれないが、それの群バージョンだ。

f:id:kanichan_robot:20210906101040p:plain

なお、(iii)⇒(i)において (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)は、 Gで満たされているので Hでも満たされる。

部分群の例

f:id:kanichan_robot:20210905184503p:plain

積を定義された0以外の整数/有理数/実数全体も同様の関係にある。

f:id:kanichan_robot:20210905184525p:plain

例(3)はモノの回転や変形を扱う人にとっては重要な群たちだ。

  •  GL(n, \mathbb{R})にはモノの回転、反転、引き延ばしなどを表現する行列が含まれる
  •  O(n)にはモノの回転、反転を表現する行列が含まれる

ちなみに SO(n)(特殊直交群 / special orthogonal group)というのもあって、これは[tex: AT A = I]かつ det(A)=1を満たす n次元実正則行列全体である。

  •  SO(n)にはモノの回転を表現する行列が含まれる

f:id:kanichan_robot:20210905190806p:plain

参考文献